一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1.下列符合三段论推理形式的为( )
A.如果p⇒q,p真,则q真
B.如果b⇒c,a⇒b,则a⇒c
C.如果a∥b,b∥c,则a∥c
D.如果a>b,c>0,则ac>bc
解析:由三段论的推理规则可以得到B为三段论.
答案:B
2.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等;
②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;③各面都是面积相等的三角形,同一顶点上的任意 两条棱的夹角都相等.
A.① B.② C.①②③ D.③
解析:由类比原理和思想,①②③都是合理、恰当的.
答案:C
3.用反证法证明命题“2+3是无理数”时,假设正确的是( )
A.假设2是有理数 B.假设3是有理数
C.假设2或3是有理数 D.假设2+3是有理数
解析:假设结论的反面成立,2+3不是无理数,则2+3是有理数.
答案:D
4.已知ai,bi∈R(i=1,2,3,…,n),a12+a22+…+an2=1,b12+b22+…+bn2=1,则a1b1+a2b2+…+anbn的最大值为( )
A.1 B.2 C.n2 D.2n
解析:此结论为“a,b,c,d∈R,a2+b2=1,c3+d2=1,则ac+bd≤a2+c22+b2+d22=1”的推广,类比可得a1b1+a2b2+…+anbn≤a12+b122+a22+b222+…+an2+bn22=1.
答案:A
5.在下列函数中,最小值是2的是( )
A.y=x2+2x
B.y=x+2x+1(x>0)
C.y=sinx+1sinx,x∈(0,π2)
D.y=7x+7-x
解析:A中x的取值未限制,故无最小值.
D中,∵y=7x+7-x=7x+17x≥2,等号成立的条件是x=0.
B、C选项均找不到等号成立的条件.
答案:D
6.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1<x<13},则ab的值为( )
A.-6 B.6 C.-5 D.5
解析:∵ax2+bx+1>0的解集是{x|-1<x<13},
∴-1,13是方程ax2+bx+1=0的两根,
∴-1+13=-ba-1×13=1a⇒b=-2,a=-3,∴ab=-3×(-2)=6.
答案:B
7.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是( )
A.2 B.22 C.4 D.5
解析:因为1a+1b+2ab≥21ab+2ab=21ab+ab≥4,当且仅当1a=1b,且 1ab=ab,即a=b=1时,取“=”.
答案:C
8.在直角坐标系中,若不等式组y≥0,y≤2x,y≤k(x-1)-1,表示一个三角形区域,则实数k的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,2)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(2,+∞)
解析:先作出y≥0,y≤2x,的平面区域如图:
若k=0时,显然不能与阴影部分构成三角形.
若k>0,将阴影部分的点如(0,0)代入y≤k(x-1)-1,有0≤-k-1,显然不能与阴影部分构成三角形,所以k<0;又y=k(x-1)-1是过定点(1,-1)的直线,由图知,若与阴影部分构成三角形,则有-k-1>0,
故k<-1时,原不等式组能构成三角形区域.
答案:A
9.如果a>b,给出下列不等式,其中成立的是( )
(1)1a<1b; (2)a3>b3;
(3)a2+1>b2+1; (4)2a>2b.
A.(2)(3) B.(1)(3) C.(3)(4) D.(2)(4)
解析:∵a、b符号不定,故(1)不正确,(3)不正确.
∵y=x3是增函数,∴a>b时,a3>b3,故(2)正确.
∴y=2x是增函数,∴a>b时,2a>2b,故(4)正确.
答案:D
10.设函数f(x)=-3 (x>0),x2+bx+c (x≤0),若f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于x的不等式f(x)≤1的解集为( )
A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) B.[-3,-1]
C.[-3,-1]∪(0,+∞) D.[-3,+∞)
解析:当x≤0时,f(x)=x2+bx+c且f(-4)=f(0),故对称轴为x=-b2=-2,∴b=4.
又f(-2)=4-8+c=0,∴c=4,
令x2+4x+4≤1有-3≤x≤-1;
当x>0时,f(x)=-2≤1显然成立.
故不等式的解集为[-3,-1]∪(0,+∞).
答案:C
11.若直线2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则2a+1b的最小值是( )
A.2-2 B.2-1 C.3+22 D.3-22
解析:由x2+y2-2x-4y-6=0得
(x-1)2+(y-2)2=11,
若2ax+by-2=0平 分圆,
∴2a+2b-2=0,∴a+b=1,
∴2a+1b=2(a+b)a+a+bb=3+2ba+ab
≥3+2 2•ba•ab=3+22,
当且仅当2ba=ab,且a+b=1,即a=2-2,b=2-1时取等号.
答案:C
12.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10 km处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )
A.5 km处 B.4 km处
C.3 km处 D.2 km处
解析:由题意可设y1=k1x,y2=k2x,∴k1=xy1,k2=y2x,
把x=10,y1=2与x=10,y2=8分别代入上式得k1=20,k2=0.8,
∴y1=20x ,y2=0.8x(x为仓库到车站的距离),
费用之和y=y1+y2=0.8x+20x≥2 0.8x•20x=8,
当且仅当0.8x=20x,即x=5时等号成立,故选A.
答案:A
第Ⅱ卷 (非选择 共90分)
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.如下图,对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”:
仿此,52的“分裂”中最大的数是 ,53的“分裂”中最小的数是 .
解析:由已知中“分裂”可得
故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.
答案:9 21
14.由图①有面积关系:S△PA′B′S△PAB=PA′•PB′PA•PB,则由图②有体积关系:VP-A′B′C′VP-ABC=__________.
解析:设三棱锥C′-PA′B′的高为h′,
15.已知等比数列{an}中,a2>a3=1,则使不等式a1-1a1+a2-1a2+a3-1a3+…+an-1an≥0成立的最大自然数n是__________.
解析:∵a2>a3=1,∴0<q=a1a2<1,a1=1q2>1,
a1-1a1+a1-1a2+a3-1a1+…+an-1an
=(a1+a2+…+an)-1a1+1a2+…+1an
=a1(1-qn)1-q-1a11-1qn1-1q=a1(1-q4)1-q-q(1-qn)a1(1-q)qn≥0,
∴a1(1-qn)1-q≥q(1-qn)a1(1-q)qn.
因为0 <q<1,所以,化简得:a12≥1qn-1,即q4≤qn-1,
∴4≥n-1,n≤5,所以n的最大值为5.
答案:5
16.设实数x,y满足x-y-2≤0,x+2y-5≥0,y-2≤0,则u=yx-xy的取值范围是__________.
解析:作出x,y满足的可行域如图中阴影部分所示,可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是13,2,
即yx∈13,2,故令t=yx,
则u=t-1t,根据函数u=t-1t在t∈13,2上单调递增,得u∈-83,32.
答案:-83,32
三、解答题:本大题共6小题,共7 0分.
17.(10分)在三角形中有下面的性质:
(1)三角形的两边之和大于第三边;
(2)三角形的中位线等于第三边的一半;
(3)三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形的内心;
(4)三角形的面积为S=12(a+b+c)r(r为三角形内切圆半径,a、b、c为三边长).
请类比出四面体的有关相似性质.
解析:(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积;
(2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一;新课]
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点,且这个点是四面体内切球的球心;
(4)四面体的体积为V =13(S1+S2+S3+S4)r(r为四面体内切球的半径,S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积).
18.(12分)已知a>0,b>0,求证b2a+a2b≥a+b.
解析:b2a+a2b-(a+b)=b2a-a+a2b-b
=(b+a)(b-a)a+(a+b)(a-b)b
=(a-b)(a+b)1b-1a=1ab(a-b)2(a+b),
∵a>0,b>0,∴b2a+a2b≥a+b.
19.(12分)为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2009年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足x=4-k2t+1(k为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知2009年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).
(1)将该厂家2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;
(2)该厂家2009年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大?
解析:(1)由题意有1=4-k1,得k=3,故x=4-32t+1.
∴y=1.5×6+12xx×x-(6+12x)-t
=3+6x-t=3+64-3t-1-t
=27-182t+1-t(t≥0).
(2)由(1)知:
y=27-182t+1-t=27.5-9t+12+t+12.
由基本不等式
9t+12+t+12≥29t+12•t+12=6,
当且仅当9t+12=t+12,
即t=2.5时,等号成立,
故y=27-182t+1-t
=27.5-9t+12+t+12≤27.5-6=21.5.
当t=2.5时,y有最大值21.5.所以2009年的年促销费用投入2.5万元时,该厂家利润最大.
20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….
(1)求a1,a2;
(2)猜想数列{Sn}的通项公式.
解析:(1)当n=1时,
x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=12.
当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-12,
于是a2-122-a2a2-12-a2=0,
解得 a2=16.
(2)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,
Sn2-2Sn+1-anSn=0.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代 入上式得
Sn-1Sn-2Sn+1=0①
由(1)得S1=a1=12,S2=a1+a2=12+16=23.
由①可得S3=34,由此猜想Sn=nn+1,n=1,2,3,….
21.(12分)设二次函数f(x)=ax2+b x+c的一个零点是-1,且满足[f(x)-x]•f(x)-x2+12≤0恒成立.
(1)求f(1)的值;
(2)求f(x)的解析式;
解析:(1)由均值不等式得x2+12≥2x2=x,
若[f(x)-x]•f(x)-x2+12≤0恒成立,
即x≤f(x)≤x2+12恒成立,
令x=1得1≤f(1)≤12+12=1,故f(1)=1.
(2)由函数零点为-1得f(-1)=0,即a-b+c=0,
又由(1)知a+b+c=1,所以解得a+c=b=12.
又f(x)-x=ax2+12x+c-x=ax2-12x+c,
因为f(x)-x≥0恒成立,所以Δ=14-4ac≤0,
因此ac≥116①
于是a>0,c>0.再由a+c=12,
得ac≤c+a22=116②
故ac=116,且a=c=14,
故f(x)的解析式是f(x)=14x2+12x2+12x+14.
22.(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的
历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣 越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5);
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n 1)与f(n)的关系,并根据你得到的关系式求f(n)的表达式.
解析:(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,
∴f(5)=25 4×4=41.
(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1,
f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4,
由上式规律得出f(n 1)-f(n)=4n.
∴f(n)-f(n-1)=4(n-1),
f(n-1)-f(n-2)=4•(n-2),
f(n-2)-f(n-3)=4•(n-3),
…
f(2)-f(1)=4×1,
∴f(n)-f(1)=4[(n-1) (n-2) … 2 1]
=2(n-1)•n,
∴f(n)=2n2-2n 1.
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